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【题目】在平面直角坐标系中,,设的内切圆分别与边相切于点,已知,记动点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)的直线与轴正半轴交于点,与曲线E交于点轴,过的另一直线与曲线交于两点,若,求直线的方程.

【答案】12.

【解析】

1)由内切圆的性质可知,转化,利用椭圆定义求椭圆方程;

2)先求点的坐标,判断,再由,求得,所以,求得,再分斜率存在和斜率不存在两种情况,当斜率存在时,设直线与椭圆方程联立,得到根与系数的关系,并且根据求斜率.

:(1)由内切圆的性质可知

.

所以曲线是以为焦点,长轴长为的椭圆(除去与轴的交点).

设曲线

所以曲线的方程为.

(2)因为轴,所以,设

所以,所以,则

因为,所以

所以

所以,所以

,所以

①直线斜率不存在时, 方程为

此时,不符合条件舍去.

②直线的斜率存在时,设直线的方程为.

联立,得

所以

代入得

,所以.

所以

所以直线的方程为.

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