【题目】已知关于的不等式
.
(1)当时,解不等式;
(2)如果不等式的解集为空集,求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)当时,不等式
变为
。由绝对值的意义,按绝对值号内的
的正负,分三种情况讨论:当
时,不等式变为
;当
时,不等式变为
,恒成立,所以
符合不等式;当
时,不等式变为
。取三种情况的并集,可得原不等式的解集。(2)解法一:构造函数
与
,原不等式的解集为空集,
的最小值比大于或等于
,作出
与
的图象. 只须
的图象在
的图象的上方,或
与
重合,
。解法二:构造函数
,讨论绝对值号内式子得正负去掉绝对值可得,
,求每一段函数的值域,可得函数的最小值
=1,
小于等于函数的最小值1.解法三,由不等式
可得
,当且仅当
时,上式取等号,∴
.
试题解析:解:(1)原不等式变为.
当时,原不等式化为
,解得
,∴
当时,原不等式化为
,∴
.
当时,原不等式化为
,解得
,∴
.
综上,原不等式解集为.
(2)解法一:作出与
的图象.
若使解集为空集,
只须的图象在
的图象的上方,或
与
重合,
∴,所以
的范围为
.
解法二:
,
当时,
,
当时,
,
当时,
,
综上,原问题等价于
,∴
.
解法三:∵,当且仅当
时,上式取等号,∴
.
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【题目】给出以下四个命题:
(1)命题,使得
,则
,都有
;
(2)已知函数f(x)=|log2x|,若a≠b,且f(a)=f(b),则ab=1;
(3)若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等,则平面α平行于平面β;
(4)已知定义在上的函数
满足条件
,且函数
为奇函数,则函数
的图象关于点
对称.
其中真命题的序号为______________.(写出所有真命题的序号)
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【题目】设f(x)= 为奇函数,a为常数,
(1)求a的值;
(2)证明f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;
(3)若x∈[3,4],不等式f(x)>( )x+m恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】海中一小岛的周围
内有暗礁,海轮由西向东航行至
处测得小岛
位于北偏东
,航行8
后,于
处测得小岛
在北偏东
(如图所示).
(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.
(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在处改变航向为东偏南
(
)方向航行,求
的最小值.
附:
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【题目】已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)
(1)若函数f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求a的取值范围;
(2)当a=1且k∈Z时,不等式k(x﹣1)<f(x)在x∈(1,+∞)上恒成立,求k的最大值.
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