Question

设函数f(x)＝2x³＋3ax²＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值．

(1)求a、b的值；

(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c²成立，求c的取值范围．

Answer 1

解析　(1)f′(x)＝6x²＋6ax＋3b，

因为函数f(x)在x＝1及x＝2时取得极值，

则有f′(1)＝0，f′(2)＝0.

即解得a＝－3，b＝4.

(2)由(1)可知，f(x)＝2x³－9x²＋12x＋8c，

f′(x)＝6x²－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．

当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；

当x∈(2,3)时，f′(x)>0.

所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c.

又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，

则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.

因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c²恒成立，

所以9＋8c<c²，解得c<－1或c>9.

因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．