Question

8．过双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦点F₁作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线l交双曲线于A、B两点，求线段AB的中点M的坐标．

Answer 1

分析 先求出F₁（-2，0），从而可以写出直线l的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$，代入双曲线方程便可得到8x²-4x-13=0，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理便可得出x₁+x₂，进一步求出y₁+y₂，从而便可得出中点M的坐标．

解答 解：根据双曲线方程，c=2；
∴F₁（-2，0）；
∴直线l的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2）$，代入双曲线方程消去y得：8x²-4x-13=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{1}{2}$；
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}（{x}_{1}+{x}_{2}+4）=\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
∴线段AB的中点M的坐标为（$\frac{1}{4}，\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．

点评 考查双曲线的标准方程，双曲线的焦点，以及直线的点斜式方程，韦达定理，中点坐标公式．