Question

求下列圆的方程
（1）已知点A（-4，-5），B（6，-1），则以线段AB为直径的圆的方程．
（2）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．
（2）先设出圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，然后把A和B的坐标代入到圆方程中得到①和②，又因为圆心在直线x+y-2=0上，所以代入得到③，联立①②③，求出a，b，r的值即可得到圆的方程．

解答：解：（1）由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，-3），即圆心的坐标为C（1，-3）；
r=|AC|=

(1+4)2+(-3+5)2

=

29

，
故所求圆的方程为：（x-1）²+（y+3）²=29．
（2）设圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，根据已知条件可得
（1-a）²+（-1-b）²=r²，①
（-1-a）²+（1-b）²=r²，②
a+b-2=0，③
联立①，②，③，解得a=1，b=1，r=2．
所以所求圆的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=4．

点评：本题的考点是圆的标准方程，考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，求圆心坐标和半径是求圆的标准方程的关键，三元一次方程组的解法．