Question

如图，已知四棱锥的P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD且AP=AB=3，
AD=

3

，∠ABC=60°．
（Ⅰ）点F为线段PB上一点，PF：FB=2，求证：CF∥面ADP；
（Ⅱ）求二面角F-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）过点C做AB的垂线CE，E为垂足，我们易求出AE的值，进而A为原点建立空间直角坐标系，求出直线CF的方向向量和平面ADP的法向量，根据两个向量的数量积为0，得到两个向量垂直，进而得到CF∥面ADP；
（Ⅱ）分别求出平面FAC和平面ABC的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F-AC-B的余弦值．

解答：证明：（I）过点C做AB的垂线CE，E为垂足
∵AB⊥AD
∴AD∥CE
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD为平行四边形
∴CE=AD=

3

在Rt△BCE中，CE=BEtan60°
∴BE=1
∴AE=2…3分
如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），C（

3

，2，0）
∵PF：FB=2：1
∴F（0，2，1）
∵

CF

=（-

3

，0，1），

AB

=（0，3，0）
又∵

CF

•

AB

=0，
∴

CF

⊥

AB

，
∵AB⊥平面ADP，即平面ADP的法向量为

AB

，
故CF∥平面ADP…6分
（II）设平面AFC的法向量为

n

=（x，y，z），则

n

⊥

AC

，

n

⊥

FC

，
即

n

•

AC

=0，

n

•

FC

=0，
即

2y+ 3 x=0 3 x-z=0

则

n

=（1，-

3

2

，

3

）
又AP⊥平面ACB，故

AP

=（0，0，3）为平面ACB的一个法向量，
∴二面角F-AC-B的余弦值为

| n • AP |

| n |•| AP |

=

3 3

3 3 4 +1+3

=

2 57

19

…12分

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，直线与平面平行的判定，其中（I）的关键是证得直线CF的方向向量和平面ADP的法向量垂直，（II）的发是求出平面FAC和平面ABC的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题．