Question

（2010•武汉模拟）已知函数f（x）=x（x²-a），（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若过点P（1，-2）可以向y=f（x）作两条切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）欲求f（x）的单调区间，只需求f'（x）＞0与f'（x）＜0的解集，本题需对a的正负进行分类讨论；
（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x₀，y₀），然后求出切线方程，将点P坐标代入得到关于x₀的三次方程即2x₀³-3x₀²+a-2=0有两个不等的实根，令g（x）=2x³-3x²+a-2，然后利用导数研究极值，根据方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根建立等式关系，解之即可．

解答：解：（1）由f（x）=x³-ax求导数得到f'（x）=3x²-a．
（i）当a≤0时，f'（x）≥0，则f（x）在R上单增．
（ii）当a＞0时，f′(x)=3(x-

a 3

)(x+

a 3

)．
则f(x)在[

a 3

，+∞)和(-∞，-

a 3

]上单调递增；
在[-

a 3

，+

a 3

]上单调递减．…（5分）
（2）设过P（1，-2）向y=f（x）作切线于切点（x₀，y₀），
则y-y₀=（3x₀²-a）（x-x₀），即y=（3x₀²-a）x-2x₀³
则y=（3x₀²-a）x-2x₀³过P（1，-2），
∴-2=3x₀²-a-2x₀³，即2x₀³-3x₀²+a-2=0．
由题意知关于x₀的方程
2x₀³-3x₀²+a-2=0有两个不等的实根．
令g（x）=2x³-3x²+a-2，
则g'（x）=6x²-6x=6x（x-1）．
于是g（x）_极小=g（1）=a-3，
g（x）_极大=g（0）=a-2．
方程g（x）=0有三个实根，其中两个根是等根．
∴

g(1)=a-3=0 g(0)=a-2＞0

或

g(1)＜0 g(0)=0.

∴a=3或a=2
∴所求a的取值范围为[2，3]．…（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数极值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．