解:(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112887.png)
.点P(x,y)到AB、AC、BC的距离依次为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112888.png)
.依设,d
1d
2=d
32,得|16x
2-(3y-4)
2|=25y
2,即16x
2-(3y-4)
2+25y
2=0,或16x
2-(3y-4)
2-25y
2=0,化简得点P的轨迹方程为
圆S:2x
2+2y
2+3y-2=0与双曲线T:8x
2-17y
2+12y-8=0
(Ⅱ)由前知,点P的轨迹包含两部分
圆S:2x
2+2y
2+3y-2=0①
与双曲线T:8x
2-17y
2+12y-8=0②△ABC的内心D也是适合题设条件的点,由d
1=d
2=d
3,解得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112889.png)
,且知它在圆S上.直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点,所以,L的斜率存在,设L的方程为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/4121.png)
③
(i)当k=0时,L与圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/1900.png)
平行于x轴,表明L与双曲线有不同于D的两个公共点,所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点.
(ii)当k≠0时,L与圆S有两个不同的交点.这时,L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况:
情况1:直线L经过点B或点C,此时L的斜率
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/11236.png)
,直线L的方程为x=±(2y-1).代入方程②得y(3y-4)=0,解得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112890.png)
.表明直线BD与曲线T有2个交点B、E;直线CD与曲线T有2个交点C、F.
故当
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/11236.png)
时,L恰好与点P的轨迹有3个公共点.(11分)
情况2:直线L不经过点B和C(即
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/60780.png)
),因为L与S有两个不同的交点,所以L与双曲线T有且只有一个公共点.即方程组
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112891.png)
有且只有一组实数解,消去y并化简得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112892.png)
该方程有唯一实数解的充要条件是8-17k
2=0④
或
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112893.png)
⑤
解方程④得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112894.png)
,解方程⑤得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/52795.png)
.
综合得直线L的斜率k的取值范围
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112895.png)
.(14分)
分析:(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112887.png)
.点P(x,y)到AB、AC、BC的距离依次为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112888.png)
.由此能求出点P的轨迹方程.
(Ⅱ)点P的轨迹包含圆S:2x
2+2y
2+3y-2=0与双曲线T:8x
2-17y
2+12y-8=0.△ABC的内心D也是适合题设条件的点,由d
1=d
2=d
3,解得
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/112889.png)
.设L的方程为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/4121.png)
.再分情况讨论能够求出直线L的斜率k的取值范围.
点评:求题考查点的轨迹方程的求法和求L的斜率k的取值范围,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用,利用圆锥曲线的性质恰当地进行等价转化.