Question

在数列{a_n}中，若a₁=2，a₂=1，a_n=

2an-1•an+1

an-1+an+1

（n≥2，n∈N），则数列{a_n}的通项公式为a_n=

2

n

．

Answer 1

分析：由a_n=

2an-1•an+1

an-1+an+1

（n≥2，n∈N），两边取倒数可得

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

．可知数列{

1

an

}等差数列，利用通项公式即可得出．

解答：解：由a_n=

2an-1•an+1

an-1+an+1

（n≥2，n∈N），两边取倒数可得

1

an

=

1

2an+1

+

1

2an-1

，即

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

．
∴数列{

1

an

}是以

1

a1

=

1

2

为首项，

1

a2

-

1

a1

=1-

1

2

=

1

2

为公差的等差数列，
∴

1

an

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

．
∴an=

2

n

．
故答案为

2

n

．

点评：本题考查了通过“两边取倒数法”转化为等差数列，属于中档题．