[题目]在平面几何中.研究三角形内任意一点与三边的关系时.有真命题:边长为的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值.类比上述命题.请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题.并给出证明. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在平面几何中，研究三角形内任意一点与三边的关系时，有真命题：边长为的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值。类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出证明。

【答案】在一个棱长为的正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值，证明见解析。

【解析】

通过类比，即可得到关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，利用几何性质即可证明。

类比边长为的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值，得到正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题：在一个棱长为的正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值，

如图：

设为正四面体内任意一点，正四面体的棱长为，到面，面，面，面的距离分别为，由于正四面体四个面的面积相等，则有：

，

由于，，所以，

所以棱长为的正四面体内任意一点到各个面的距离之和为

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（2）以（1）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；

（3）以（1）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人.请完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.

附：（）.

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