Question

【题目】在平面几何中，研究三角形内任意一点与三边的关系时，有真命题：边长为的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值。类比上述命题，请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出证明。

Answer 1

【答案】在一个棱长为的正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值，证明见解析。

【解析】

通过类比，即可得到关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，利用几何性质即可证明。

类比边长为的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值，得到正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题：在一个棱长为的正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值，

如图：

设为正四面体内任意一点，正四面体的棱长为，到面，面，面，面的距离分别为，由于正四面体四个面的面积相等，则有：

，

由于，，所以，

所以棱长为的正四面体内任意一点到各个面的距离之和为