Question

定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”（n∈N*）．
（Ⅰ）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列{c_n}的首项为2013，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8052，证明{c_n}是“三角形”数列；
（Ⅲ）若g（x）=lgx是（Ⅱ）中数列{c_n}的“保三角形函数”，问数列{c_n}最多有多少项？
（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定{a_n}是三角形数列，再利用函数的单调性，可得不等式，即可求k的取值范围；
（Ⅱ）求得数列{c_n}的通项，再利用定义进行证明即可；
（Ⅲ）确定{g（c_n）}单调递减，利用定义可得不等式lg2013+(n-1)lg(

3

4

)＞0且lgc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2，由此可得n的范围，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）解：显然a_n=n+1，a_n+a_n+1＞a_n+2对任意正整数都成立，即{a_n}是三角形数列．
因为k＞1，显然有f（a_n）＜f（a_n+1）＜f（a_n+2）＜…，
由f（a_n）+f（a_n+1）＞f（a_n+2）得kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²
解得

1- 5

2

＜k＜

1+ 5

2

．
所以当k∈(1，

1+ 5

2

)时，f（x）=k^x是数列{a_n}的保三角形函数．…（3分）
（Ⅱ）证明：由4s_n+1-3s_n=8052，得4s_n-3s_n-1=8052，
两式相减得4c_n+1-3c_n=0，所以cn=2013(

3

4

)n-1…（5分）
经检验，此通项公式满足4s_n+1-3s_n=8052．
显然c_n＞c_n+1＞c_n+2，
因为cn+1+cn+2=2013(

3

4

)n+2013(

3

4

)n+1=

21

16

•2013(

3

4

)n-1＞cn，
所以{c_n}是三角形数列．…（8分）
（Ⅲ）解：g(cn)=lg[2013(

3

4

)n-1]=lg2013+(n-1)lg(

3

4

)，
所以{g（c_n）}单调递减．
由题意知，lg2013+(n-1)lg(

3

4

)＞0①且lgc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2②，
由①得(n-1)lg

3

4

＞-lg2013，解得n＜27.4，
由②得nlg

3

4

＞-lg2013，解得n＜26.4．
即数列{b_n}最多有26项．…（13分）

点评：本题考查新定义，考查函数的单调性，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．