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已知函数处取得极小值,其图象过点A(0,1),且在点A处切线的斜率为—1。

   (Ⅰ)求的解析式;

  (Ⅱ)设函数上的值域也是,则称区间为函数的“保值区间”。证明:当不存在“保值区间”;

解:(1)

,  ………………2分

所以  ………………4分

   (2)由(1)得

①假设当存在“保值区间”

于是问题转化为有两个大于1的不等实根。 …………6分

现在考察函数

  …………10分

x变化时,的变化情况如下表:

0

+

单调递减

极小值

单调递增

所以,上单调递增。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3+ax+b
,(a,b∈R)在x=2处取得极小值-
4
3

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若
1
3
x3+ax+b≤m2+m+
10
3
对x∈[-4,3]恒成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2
处取得极小值,满足x1∈(-1,1),x2∈(2,4),则a+2b的取值范围是
(-5,1)
(-5,1)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•福建模拟)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在x=1处取得极小值,其图象过点A(0,1),且在点处切线的斜率为-1.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)的定义域D,若存在区间[m,n]⊆D,使得g(x)在[m,n]上的值域也是[m,n],则称区间[m,n]为函数g(x)的“保值区间”.
(ⅰ)证明:当x>1时,函数f(x)不存在“保值区间”;
(ⅱ)函数f(x)是否存在“保值区间”?若存在,写出一个“保值区间”(不必证明);若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•杭州一模)已知函数f(x)=2x3+px+r,g(x)=15x2+qlnx(p,q,r∈R).
(I)当r=-35时f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线,求p、q的值;
(II)已知函数h(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极大值-13,在x=x1和x=x2(x1≠x2)处取得极小值h(x1)和h(x2),若h(x1)+h(x2)<kln3-10成立,求整数k的最小值.

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