Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形， ，PA=PD，F为AD的中点，PD⊥BF．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若菱形ABCD的边长为6，PA=5，求四面体PBCD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接PF，

∵PA=PD，F为AD的中点，

∴PF⊥AD，

∵底面ABCD是菱形， ，

∴△ABD是等边三角形，∵F为AD的中点，

∴BF⊥AD，

又PF，BF平面PBF，PF∩BF=F，

∴AD⊥平面PBF，∵PB平面PBF，

∴AD⊥PB

（2）解：由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD平面PAD，

∴BF⊥平面PAD，又BF平面ABCD，

∴平面PAD⊥平面ABCD，

由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PF⊥平面ABCD，

在直角△PAF中，PA=5，AF= AD=3，∠PFA=90°，∴PF=4，

∴四面体PBCD的体积 ．

【解析】（1）连接PF，由三线合一可得AD⊥BF，AD⊥PF，故而AD⊥平面PBF，于是AD⊥PB；（2）证明PF⊥平面ABCD，计算PF，代入体积公式计算．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．