Question

已知向量

m

=(x2，1)，

n

=(a，1-2ax)，其中a＞0．函数g（x）=

m

•

n

在区间x∈[2，3]上有最大值为4，设f（x）=

g(x)

x

．
（1）求实数a的值；
（2）若不等式f（3^x）-k3^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由向量的数量积求出函数g（x）的解析式，由函数的单调性求出函数的最大值，由最大值等于4求得a的值；
（2）求出函数f(x)=

g(x)

x

的解析式，代入f（3^x）-k3^x≥0后分离参数k，然后利用配方法求得函数的最值后得答案．

解答：解：（1）由题得g（x）=

m

•

n

=ax²+1-2ax=a（x-1）²+1-a，
当a＞0时函数开口向上，对称轴为x=1，在区间x∈[2，3]单调递增，最大值为4，
∴g（x）_max=g（3）=a（3-1）²+1-a=4，
∴a=1；                                  
（2）由（1）可知，g（x）=x²-2x+1，
∴f（x）=

g(x)

x

=x+

1

x

-2，
令t=3^x，则t∈[

1

3

，3]，
∴f（3^x）-k3^x≥0可化为f（t）≥kt，
即k≤

f(t)

t

恒成立，

f(t)

t

=(

1

t

-1)2，且

1

t

∈[

1

3

，3]，
当

1

t

=1，即t=1时

f(t)

t

取最小值为0，
∴k≤0．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数构造法、换元法及分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，属中高档题．