Question

已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足为E，O为直线BD外一点．设向量|

OB

|=5，|

OD

|=3，则(

OA

+

OC

)•(

OB

-

OD

)的值是（　　）

A．8

B．16

C．-8

D．-16

Answer 1

分析：由已知中AC是BD的垂直平分线，垂足为E，我们根据向量加法的平行四边形潜规则可得2

OE

=

OB

+

OD

，由向量垂直数量积为0，可得

EA

•

DB

=

EC

•

DB

=0，进而可得(

OA

+

OC

)•(

OB

-

OD

)根据向量加法的三角形法则，转化为(

OB

+

OD

)•(

OB

-

OD

)，即|

OB

|2-|

OD

|2的形式，结合|

OB

|=5，|

OD

|=3，得到答案．

解答：解：∵AC是BD的垂直平分线，
∴2

OE

=

OB

+

OD

，

EA

•

DB

=

EC

•

DB

=0
又∵向量|

OB

|=5，|

OD

|=3，
(

OA

+

OC

)•(

OB

-

OD

)
=(

OE

+

EA

+

OE

+

EC

)•(

OB

-

OD

)
=2

OE

•(

OB

-

OD

)+

(EA

+

EC

)•

DB

=(

OB

+

OD

)•(

OB

-

OD

)
=|

OB

|2-|

OD

|2=16
故选B

点评：本题考查的知识点是平面向量的平行四边形法则，三角形法则，及平面向量数量积的运算，其中根据已知条件得到2

OE

=

OB

+

OD

，

EA

•

DB

=

EC

•

DB

=0，是解答本题的关键．