Question

三次函数f（x），当x=1时有极大值4；当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则f（x）=________．

Answer 1

x³-6x²+9x
分析：本题是据题意求参数的题，题目中x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，可转化出五个等式，择其四建立方程求解即可．
解答：设三次函数为f（x）=ax³+bx²+cx+d，
f′（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），
∵x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0
∴f′（1）=3a+2b+c=0 ①
f′（3）=27a+6b+c=0 ②
f（1）=a+b+c+d=4 ③
又函数图象过原点，所以d=0 ④
①②③④联立得 a=1，b=-6，c=9
故函数f（x）=x³-6x²+9x
故答案为：x³-6x²+9x．
点评：本小题考点是导数的运用，考查导数与极值的关系，本题的特点是用导数一极值的关建立方程求参数---求函数的表达式．