Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1=

3

2

S_n+1（n∈N^*）．设数列{

1

an

}的前n项和为T_n，求满足不等式T_n＜

12

Sn+2

的n值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：由数列递推式得到数列{a_n}是以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列，则数列{

1

an

}是以1为首项，以

2

3

为公比的等比数列．再由等比数列的前n项和求得S_n，T_n，代入不等式T_n＜

12

Sn+2

求解n的值．

解答： 解：由S_n+1=

3

2

S_n+1（n∈N^*），得Sn=

3

2

Sn-1+1(n≥2)，
作差得：an+1=

3

2

an(n≥2)．
∵a₁=1，代入S_n+1=

3

2

S_n+1，得a1+a2=

3

2

a1+1，
∴a2=

3

2

．
∴数列{a_n}是以1为首项，以

3

2

为公比的等比数列，
则数列{

1

an

}是以1为首项，以

2

3

为公比的等比数列．
则Sn=

1-( 3 2 )n

1- 3 2

=2•(

3

2

)n-2，Tn=

1-( 2 3 )n

1- 2 3

=3-3•(

2

3

)n．
由T_n＜

12

Sn+2

，得3-3•(

2

3

)n＜

12

2•( 3 2 )n-2+2

=6•(

2

3

)n．
即(

2

3

)n＞

1

3

．
当n=1，2时上式成立，
当n≥3时不成立．
∴满足不等式T_n＜

12

Sn+2

的n值为1，2．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，训练了数列不等式的解法，是中档题．