Question

17．定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）至少有6个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• D． （0，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）

Answer 1

分析 令x=-1，求出f（1）=0，得出函数f（x）的周期为2，画出f（x）和y=log_a（|x|+1）的图象，利用数形结合的方法进行求解；

解答 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），∴f（-1+2）=f（-1）-f（1），即f（1）=f（-1）-f（1），∴2f（1）=f（-1）．
∵f（x）是定义域为R的偶函数，∴f（-1）=f（1），∴2f（1）=f（1），f（1）=0．∴f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．
作出f（x）和y=log_a（|x|+1）的图象如图所示：

∵函数y=f（x）-log_a（|x|+1）至少有6个零点，∴0＜a＜1．
∴log_a（2+1）＞-2，解得0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数零点的个数判断，画出函数图象借助图象判断是常用解题方法．