Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数，a∈R).在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.

（1）若点A(0，4)在直线l上，求直线l的极坐标方程；

（2）已知a>0，若点P在直线l上，点Q在曲线C上，若|PQ|最小值为，求a的值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）将直线l参数方程转化为直角坐标方程，再将A点坐标代入即可求出a值，进而求出极坐标方程.

（2）设直线m平行于直线l，则直线m与曲线C的切点到直线l的距离即为|PQ|最小值，计算求解即可.

（1）由直线l的参数方程为 (t为参数，a∈R)可得，

直线l的直角坐标方程为，

因为点A(0，4)在直线l上，代入方程，得

则直线l的直角坐标方程为，

将代入，得

即直线l的极坐标方程为

（2）将曲线C的极坐标方程

化为直角坐标方程，得，

设直线，

则直线m与曲线C的切点（靠近直线l）到直线的距离即为|PQ|最小值，

将直线m代入曲线C中，得，

由相切，得，即（舍负），

由于直线m与直线l的距离为，

则，