Question

8．如图，过椭圆的左顶点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆与P、Q连接PQ．
（1）问直线PQ是否过一定点，如果经过定点求出该点坐标，否则请说明理由；
（2）求△APQ面积取最大值时，直线PQ的方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，直线AP的方程为：y=k（x+a），联立方程可得P点坐标，进而求出Q点的坐标，可得直线PQ的两点式方程，进而可得直线PQ与x轴交点为定点；
（2）△APQ面积S=$\frac{1}{2}$AC（|y_P|+|y_Q|），求出三角形面积的表达式，结合导数法，可得当k=±1，即PQ与x轴垂直时，S取最大值，进而得到答案．

解答 解：（1）设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
则A的坐标为（-a，0），
设直线AP的方程为：y=k（x+a），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$整理得：$（\frac{1}{{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}）{y}^{2}-\frac{2}{ka}y=0$，
故P点的纵坐标为：$\frac{\frac{2}{ka}}{\frac{1}{{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}}$=$\frac{2{akb}^{2}}{{b}^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$，
故P点的坐标为：（$\frac{{ab}^{2}-{a}^{3}{k}^{2}}{{b}^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{2{akb}^{2}}{{b}^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$），
由PA⊥QA得：QA的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x+a），
同理可得：Q点的坐标为：（$\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$，$\frac{-2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$），
则直线PQ的方程为：$\frac{y+\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{2{akb}^{2}}{{b}^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}+\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{x-\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{{ab}^{2}-{a}^{3}{k}^{2}}{{b}^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}-\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}$，
当y=0时，x=$\frac{\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}{\frac{2{akb}^{2}}{{b}^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}+\frac{2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}}$×$（\frac{{ab}^{2}-{a}^{3}{k}^{2}}{{b}^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}-\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}）+\frac{{ab}^{2}{k}^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{a（{a}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
即直线PQ过一定点C（$\frac{a（{a}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，0）；
（2）△APQ面积S=$\frac{1}{2}$AC（|y_P|+|y_Q|）=$\frac{1}{2}$×$\frac{a（{a}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$×|$\frac{2{akb}^{2}}{{b}^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$-$\frac{-2{akb}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$|=$\frac{a（{a}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$×ab²（$\frac{k}{{b}^{2}{+a}^{2}{k}^{2}}$+$\frac{k}{{a}^{2}{+b}^{2}{k}^{2}}$），
令M=$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}{k}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}{k}^{2}}{k}$则M取最小值时，S有最大值；
∵M′=$\frac{-{b}^{2}}{{k}^{2}}+{a}^{2}+{b}^{2}+\frac{-{a}^{2}}{{k}^{2}}$=$（{a}^{2}+{b}^{2}）（1-\frac{1}{{k}^{2}}）$
故当k=±1，即PQ与x轴垂直时，S取最大值，
此时直线PQ的方程为：x=$\frac{a（{a}^{2}-{b}^{2}）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$

点评 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线的方程，直线与圆锥曲线的关系，直线过定点，三角形面积公式，函数的最大值，综合性强，运算量大，属于难题．