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已知奇函数f(x)=
1
2x-1
+a.
(1)求f(x)的定义域;
(2)求a的值;
(3)证明x>0时,f(x)>0.
考点:函数奇偶性的性质
专题:函数的性质及应用
分析:(1)根据2x-1≠0,即2x≠1,求解.(2)根据奇函数的概念,f(x)+f(-x)=
1
2x-1
+a+
2x
1-2x
+a=0
,求解.
(3)根据不等式的性质证明,结合指数函数的单调性.
解答: 解:(1)∵2x-1≠0,即2x≠1,
∴x≠0
故f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)
(2)解:∵f(x)是奇函数
又∵f(-x)=
1
2-x-1
+a=
2x
1-2x
+a

f(x)+f(-x)=
1
2x-1
+a+
2x
1-2x
+a=0

a=
1
2

(3)证明:当x>0时,2x>1,
∴2x-1>0
1
2x-1
+
1
2
>0

即x>0时,f(x)>0
点评:本题考查了函数的概念,性质,属于容易题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

下列各式错误的是(  )
A、30.8>30.7
B、0.75-0.1<0.750.1
C、(
3
1.6>(
3
D、0.50.4>0.50.6

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ax2+(a-1)x-1,有且仅有一个零点的充要条件是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知集合M={2,4,6,8},N={1,2},P={x|x=
a
b
,a∈M,b∈N}
,则集合P的真子集的个数为(  )
A、4B、6C、15D、63

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科目:高中数学 来源: 题型:

设集合A={x|x>1},B={x|x<a},若A∪B=R,则实数a的取值范围为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

若点P(-
3
,m)是角θ终边上一点,且sinθ=
3
3
,则m的值为(  )
A、
6
2
B、±
6
2
C、
6
3
D、±
6
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

在单位圆上,点P从(0,1)出发,沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动
3
弧长到达Q点,则Q 点的坐标为(  )
A、(-
1
2
3
2
B、(
3
2
,-
1
2
C、(
1
2
,-
3
2
D、(-
3
2
,-
1
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

下面四个命题:
①已知函数f(x)=sin x,在区间[0,π]上任取一点x0,则使得f(x0)>
1
2
的概率为
2
3

②函数y=sin 2x的图象向左平移
π
3
个单位得到函数y=sin(2x+
π
3
)的图象;
③命题“?x∈R,x2-x+1≥
3
4
”的否定是“?x0∈R,x02-x0+1<
3
4
”;
④若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(x),则f(2 012)=0.
向量
a
=(-1,1)在向量
b
=(3,4)方向上的投影为
1
5

其中所有正确命题的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=3x的反函数经过点(18,a+2),设g(x)=3ax-4x的定义域为区间[-1,1],
(1)求g(x)的解析式;
(2)若方程g(x)=m有解,求m的取值范围;
(3)对于任意的n∈R,试讨论方程g(|x|)+2|x|+1=n的解的个数.

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