Question

8．已知两个不相等的非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，两组向量$\overrightarrow{{x}_{1}}$，$\overrightarrow{{x}_{2}}$，$\overrightarrow{{x}_{3}}$，$\overrightarrow{{x}_{4}}$，$\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}$，$\overrightarrow{{y}_{2}}$，$\overrightarrow{{y}_{3}}$，$\overrightarrow{{y}_{4}}$，$\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排列而成，记S=$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$+$\overrightarrow{{x}_{4}}$•$\overrightarrow{{y}_{4}}$+$\overrightarrow{{x}_{5}}$•$\overrightarrow{{y}_{5}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题中
（1）S有5个不同的值；（2）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$则S_min与|$\overrightarrow{a}$|无关；（3）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$则S_min与|$\overrightarrow{b}$|无关；（4）若|$\overrightarrow{b}$|＞4|$\overrightarrow{a}$|，则S_min＞0；（5）若|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，S_min=8|$\overrightarrow{a}$|²，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$．正确的是（　　）

• A． （1）（2）
• B． （2）（4）
• C． （3）（5）
• D． （1）（4）

Answer 1

分析 依题意，可求得S有3种结果：①S=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$；②S=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$；③S=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$．可判断（1）错误；进一步分析有S₁-S₂=S₂-S₃=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}≥0$，即S中最小为S₃；再对（2）（3）（4）（5）逐一分析即可得答案．

解答 解：∵x_i，y_i（i=1，2，3，4，5）均由2个$\overrightarrow{a}$和3个$\overrightarrow{b}$排列而成，
∴S=x_iy_i可能情况有三种：①S=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$；②S=${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2}$；③S=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$．故（1）错误；
∵S₁-S₂=S₂-S₃=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}≥0$，∴S中最小为S₃．
若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，则S_min=S₃=${\overrightarrow{b}}^{2}$，与|$\overrightarrow{a}$|无关，故（2）正确；
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，则S_min=S₃=4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，与|$\overrightarrow{b}$|有关，故（3）错误；
若|$\overrightarrow{b}$|＞4|$\overrightarrow{a}$|，则S_min=S₃=4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$＞-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$＞-$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$+$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=0，故（4）正确；
若|$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，S_min=S₃=8$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$cosθ+4$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$=8$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
∴2cosθ=1，∴θ=$\frac{π}{3}$，
即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，（5）错误．
综上所述，命题正确的是（2）（4），
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积的综合应用，考查推理、分析与运算的综合应用，属于难题．