Question

已知函数f（x）=
（1）当时，求f（x）的极值点；
（2）若f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，求实数a的范围．

Answer 1

解：（1）当时，f（x）=x²-lnx+x （x＞0）
由f′（x）=x-+1==0，可得x₁=，x₂=…2′
当（0，）时，f′（x）＜0，函数单调减，当（，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调增…3′
∴f（x）在x=时取极小值…4′
（2）f′（x）=（x＞0）…5′
令g（x）=x²-2ax+a²+a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂）…7′
1°、当△≤0时，即0≤a≤2，f′（x）≥0，∴f（x）单调递增，满足题意…9′
2°、当△＞0时 即a＜0或a＞2时
①若x₁＜0＜x₂，则 a²+a＜0 即-＜a＜0时，f（x）在（0，x₂）上单调减，（x₂，+∞上单调增
f′（x）=x+-2a，f″（x）=1-≥0，∴f′（x） 在（0，+∞）单调增，不合题意…11′
②若x₁＜x₂＜0，则，即a≤-时，f（x）在（0，+∞）上单调增，满足题意．…13′
③若0＜x₁＜x₂，，则，即a＞2时，f（x）在（0，x₁）单调增，（x₁，x₂）单调减，（x₂，+∞）单调增，不合题意…15′
综上得a≤-或0≤a≤2．…16′
分析：（1）当时，f（x）=x²-lnx+x （x＞0），求导函数，确定函数的单调区间，即可求得f（x）的极值点；
（2）求导函数f′（x）=（x＞0），构造新函数g（x）=x²-2ax+a²+a，△=4a²-3a²-2a=a²-2a，设g（x）=0的两根x₁，x₂（x₁＜x₂），分类讨论，通过比较根的关系，根据f（x）在f′（x）的单调区间上也是单调的，即可确定实数a的范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．