Question

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

） 的图象过点（0，

1

2

 ），最小正周期为

2π

3

，且最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）若x∈[

π

6

，m]，f（x）的值域是[-1，-

3

2

]，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，易求A=1，ω=3，由函数的图象过点（0，

1

2

），0＜φ＜

π

2

，可求得φ=

π

3

，从而可得函数f（x）的解析式．
（2）x∈[

π

6

，m]⇒

5π

6

≤3x+

π

3

≤3m+

π

3

，依题意，利用余弦函数的性质可得π≤3m+

π

3

≤

7π

6

，从而可求m的取值范围．

解答：解：（1）由函数的最小值为-1，A＞0，得A=1，
∵最小正周期为

2π

3

，
∴ω=

2π

2π 3

=3，
∴f（x）=cos（3x+φ），
又函数的图象过点（0，

1

2

），
∴cosφ=

1

2

，而0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=cos（3x+

π

3

），
（2）由x∈[

π

6

，m]，可知

5π

6

≤3x+

π

3

≤3m+

π

3

，
∵f（

π

6

）=cos

5π

6

=-

3

2

，且cosπ=-1，cos

7π

6

=-

3

2

，
由余弦定理的性质得：π≤3m+

π

3

≤

7π

6

，
∴

2π

9

≤m≤

5π

18

，
即m∈[

2π

9

，

5π

18

]．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）确定函数解析式，着重考查余弦函数的单调性，考查解不等式的能力，属于中档题．