Question

8．已知函数f（x）对于任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-$\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求证：f（x）在R上是减函数．
（Ⅱ）求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值．
（Ⅲ）当m+n≠0时，求证$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用赋值法即可求f（0）的值，根据函数单调性的定义即可证明函数单调性；
（Ⅱ）根据函数的单调性和最值之间的关系即可得到结论；
（Ⅲ）先证明当x≠0时，$\frac{f（x）}{x}$＜0．再把x=m+n代入得$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$，而f（m）+f（n）=f（m+n），故$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$得证．

解答 解：（Ⅰ）证明：令x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），
解得f（0）=0，
设x₁＞x₂，由f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=x₂，x+y=x₁，
则 y=x₁-x₂＞0，所以 f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁）
所以 f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
所以，f（x）在R上是减函数；
（Ⅱ）由f（x）+f（y）=f（x+y），
可得f（1）+f（-1）=f（0）=0，
∴f（-1）=-f（1）=$\frac{1}{4}$，
f（-4）=f（-3）+f（-1）=f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）=4f（-1）=1，
f（4）=f（3）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）+f（1）=4f（1）=-1，
又因为f（x）在[-4，4]上是减函数，
所以，最大值为f（-4）=1，最小值为f（-1）=-1；
（Ⅲ）证明：∵f（0）=0，
∵当x＞0时，f（x）＜0，∴$\frac{f（x）}{x}$＜0，
故$\frac{f（x）}{x}$＜0；
∴当x＜0时，-x＞0，∴f（-x）＜0，
由f（x-x）=f（x）+f（-x），得f（x）=-f（-x＞0，
∴$\frac{f（x）}{x}$＜0；
综上：当x≠0时，$\frac{f（x）}{x}$＜0．
∴m+n≠0时，$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$，
∵f（m）+f（n）=f（m+n），
∴$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据定义法和赋值法是解决抽象函数问题的基本方法．注意把式子要变形、等价转化．