【题目】已知函数(为实数).
(I)讨论函数的单调性;
(II)若在上的恒成立,求的范围;
【答案】(I)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ) 求得函数的导数令,解得或,根据根的大小三种情况分类讨论,即可求解.
(II )依题意有在上的恒成立,
转化为在上的恒成立,设,,利用导数求得函数的单调性与最大值,即可求解.
(Ⅰ) 由题意,函数,
则
令,解得或,
①当时,有,有,故在上单调递增;
②当时,有,随的变化情况如下表:
极大 | 极小 |
由上表可知在和上单调递增,在上单调递减;
③同②当时,有,
有在和上单调递增,在上单调递减;
综上,当时,在和上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,在和上单调递增,在上单调递减.
(II )依题意有在上的恒成立,
即在上的恒成立,
故在上的恒成立,
设,,则有…(*)
易得,令,有,,
随的变化情况如下表:
极大 |
由上表可知,
又由(*)式可知,
故的范围为.
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【题目】《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《SuperBrain》而推出的大型科学竞技真人秀节目.节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对空间感知、照相式记忆进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,120分以上才有机会入围.某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各100名,然后对这200名学生进行脑力测试.规定:分数不小于120分为“入围学生”,分数小于120分为“未入围学生”.已知男生入围24人,女生未入围80人.
(1)根据题意,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关;
性别 | 入围人数 | 未入围人数 | 总计 |
男生 | 24 | ||
女生 | 80 | ||
总计 |
(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取11名学生,然后再从这11名学生中抽取3名参加某期《最强大脑》,设抽到的3名学生中女生的人数为,求的分布列及数学期望.
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直线PB与CD所成角的大小为,求BC的长;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
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【题目】已知椭圆的右焦点为,点为椭圆上的动点,若的最大值和最小值分别为和.
(I)求椭圆的方程
(Ⅱ)设不过原点的直线与椭圆 交于两点,若直线的斜率依次成等比数列,求面积的最大值
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【题目】在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示:
(I)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P(37<Z≤79);
(II)在(I)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
①得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费;
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
现有市民甲参加此次问卷调查,记 (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.
附:参考数据与公式:.
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【题目】一家保险公司决定对推销员实行目标管理,即给推销员确定一个具体的销售目标,确定的销售目标是否合适,直接影响到公司的经济效益,如果目标定得过高,多数推销员完不成任务,会使推销员失去信心:如果目标定得太低,将不利于挖掘推销员的工作潜力,下面一组数据是部分推销员的月销售额(单位:千元):
19.58 16.11 16.45 20.45 20.24 21.66 22.45 18.22 12.34
19.35 20.55 17.45 18.78 17.96 19.91 18.12 14.65 14.78
16.78 18.78 18.29 18.51 17.86 19.58 19.21 18.55 16.34
15.54 17.55 14.89 18.94 17.43 17.14 18.02 19.98 17.88
17.32 19.35 15.45 19.58 13.45 21.34 14.00 18.42 23.00
17.52 18.51 17.16 24.56 25.14
请根据这组样本数据提出使65%的职工能够完成销售指标的建议.
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