【题目】设函数f(x)=x3﹣2ex2+mx﹣lnx,记g(x)= ,若函数g(x)至少存在一个零点,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,e2+ ]
B.(0,e2+ ]
C.(e2+ ,+∞]
D.(﹣e2﹣ ,e2+
]
【答案】A
【解析】解:∵f(x)=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为(0,+∞),
又∵g(x)= ,
∴函数g(x)至少存在一个零点可化为
函数f(x)=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点;
即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解,
则m= =﹣x2+2ex+
,
m′=﹣2x+2e+ =﹣2(x﹣e)+
;
故当x∈(0,e)时,m′>0,
当x∈(e,+∞)时,m′<0;
则m=﹣x2+2ex+ 在(0,e)上单调递增,
在(e,+∞)上单调递减,
故m≤﹣e2+2ee+ =e2+
;
又∵当x+→0时,m=﹣x2+2ex+ →﹣∞,
故m≤e2+ ;
故选A.
由题意先求函数的定义域,再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解,则m= =﹣x2+2ex+
,求导求函数m=﹣x2+2ex+
的值域,从而得m的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,过点
的直线
的倾斜角为45°,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
和曲线
的交点为点
.
(1)求直线的参数方程;
(2)求的值.
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【题目】已知函数f(x)=x2+ax+b﹣a(a,b∈R).
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞),求实数a,b的值;
(2)设a=2,若不等式f(x)>b2﹣3b对任意实数x都成立,求实数b的取值范围;
(3)设b=3,解关于x的不等式组 .
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【题目】请认真阅读下列程序框图,然后回答问题,其中n0∈N.
(1)若输入n0=0,写出所输出的结果;
(2)若输出的结果中有5,求输入的自然数n0的所有可能的值;
(3)若输出的结果中,只有三个自然数,求输入的自然数n0的所有可能的值.
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【题目】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲(水生植物名)生一日,长三尺;莞(植物名,俗称水葱、席子草)生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:今有蒲生长1日,长为3尺;莞生长1日,长为1尺.蒲的生长逐日减半,莞的生长逐日增加1倍.若蒲、莞长度相等,则所需的时间约为( )(结果保留一位小数.参考数据:,
)( )
A. 1.3日 B. 1.5日 C. 2.6日 D. 2.8日
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【题目】已知函数f(x)=x3+(1﹣a)x2﹣a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为﹣3,求a,b的值;
(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y轴的切线,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=(x2+ax﹣2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当 时,求函数f(x)的单调区间和极值.
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【题目】已知函数f(x)= 的定义域为(﹣1,1),满足f(﹣x)=﹣f(x),且f(
)=
.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)证明f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(x2﹣1)+f(x)<0.
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【题目】设二次函数,关于
的不等式
的解集有且只有一个元素.
(1)设数列的前
项和
,求数列
的通项公式;
(2)记,则数列
中是否存在不同的三项
成等比数列?若存在,求出这三项,若不存在,请说明理由.
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