Question

已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量

m

=(sinB，1-cosB)与向量

n

=(2，0)夹角的余弦角为

1

2

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，及三角函数的最值，
（1）由向量

m

=(sinB，1-cosB)与向量

n

=(2，0)夹角的余弦角为

1

2

．我们可以构造一个关于角B的三角方程，解方程后，根据B为△ABC的内角，易得到角B的大小．
（2）根据（1）的结论，我们可以将sinA+sinC中C角消掉，得到一个关于A角的正弦型函数，再由0＜A＜

π

3

结合正弦型函数的性质，易得sinA+sinC的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵m=（sinB，1-cosB），n=（2，0），
∴cos＜m，n＞=

m•n

|m|•|n|

=

1

2

.（2分）
即

2sinB

2 2-2cosB

=

1

2

.∴2cos²B-cosB-1=0．
解得cosB=-

1

2

或cosB=1（舍）∵0＜B＜π∴B=

2π

3

.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A+C=

π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin(A+

π

3

).（9分）
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

.
∴sin(A+

π

3

)∈(

3

2

，1].即sinA+sincC∈(

3

2

，1].（13分）

点评：cosθ=

a • b

| a |•| b |

这是由向量的数量积表示夹角一唯一公式，也是利用向量求角的唯一公式，希望大家牢固掌握，熟练应用．