Question

在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0)、B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x,y),且满足·=1.

(Ⅰ)求动点P所在曲线C的方程；

(Ⅱ)过点B作斜率为-的直线l交曲线C于M、N两点，且++=，试求△MNH的面积.

 

Answer 1

【答案】

（1）曲线C的方程是+ y²=1   （2）S=

【解析】(I) 设点P的坐标为（x,y）,则点Q的坐标为（x,y）.然后求出=(x+1,y), =(x-1,y). 再对·=1坐标化化简即可。

（II）先求出直线l的方程，然后与曲线C的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程。

下面解题的关键是++=，得=（- x₁- x₂，- y₁- y₂），即H（-1，-）

|MN|=然后利用韦达定理求出|MN|，再利用点到直线的距离公式求出高，问题得解。

解：(Ⅰ)设点P的坐标为（x,y）,则点Q的坐标为（x,y）.   

依据题意，有=(x+1,y), =(x-1,y).              ………………2分

∵·=1，∴x²-1+2 y²=1.∴动点P所在曲线C的方程是+ y²=1 …………4分

(Ⅱ)因直线l过点B，且斜率为k=-，故有l∶y=-（x-1）………………5分

联立方程组，消去y,得2x²-2x-1=0.        …………………7分

设M（x₁,y₁）、N（x₂,y₂），可得，于是. ……………8分

又++=，得=（- x₁- x₂，- y₁- y₂），即H（-1，-）……10分

∴|MN|=   …………………………………12分

又l: x+2y-=0，则H到直线l的距离为d=

故所求MNH三角形的面积为S=