【题目】不是直角三角形,它的三个角所对的边分别为,已知.
(1)求证: ;
(2)如果,求面积的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)48
【解析】试题分析:(1)由,根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得 ,因为不是直角三角形,所以,由正弦定理可得;(2)视为定点,求出满足条件下的轨迹为一个圆,圆心在直 上,当上升到离直线最远时面积最大.
试题解析:(1)由,根据正弦定理可得 , ,因为不是直角三角形,所以,由正弦定理可得;
(2)方法一:b=2a.c=12,余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)
方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆,圆心在直线AB上,当C上升到离直线AB最远时面积最大。
方法三:利用海伦公式直接将面积表示为a的函数
方法三为最简捷办法,凡只涉及边的面积问题可优先想到海伦公式。
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【题目】已知椭圆C:的离心率为,点P(1,)在椭圆C上,直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在x轴上是否存在定点M,使得为定值?若存在,求定点M的坐标;若不在,请说明理由.
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【题目】对在直角坐标系的第一象限内的任意两点,作如下定义:,那么称点是点的“上位点”,同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
(2)设、、、均为正数,且点是点的上位点,请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”,如果是请证明,如果不是请说明理由;
(3)设正整数满足以下条件:对任意实数,总存在,使得点既是点的“下位点”,又是点的“上位点”,求正整数的最小值.
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【题目】
按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式;当时,求证:=;
(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
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【题目】已知椭圆C中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点(1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.
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【题目】已知函数. 为实数,且,记由所有组成的数集为.
(1)已知,求;
(2)对任意的,恒成立,求的取值范围;
(3)若,,判断数集中是否存在最大的项?若存在,求出最大项;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
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【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:
(1)这一组的频数、频率分别是多少?
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。(不要求写过程)
(3) 从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
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