Question

平面上点P与点F（0，1）的距离比它到直线y+2=0的距离小1
（1）求出点P的轨迹方程；
（2）过点F作点P的轨迹动弦CD，过C、D两点分别作点P的轨迹的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知条件，点P与点F距离等于它到直线y=-1的距离，故其轨迹为以F（0，1）为焦点的抛物线，从而可求点P的轨迹方程
（2）设，，由导数的几何意义可先求两切线的斜率，进而可得过抛物线上C、D两点的切线方程，切线的交点M的坐标为设CD的直线方程为y=nx+1，代入x²=4y，根据方程的根与系数的关系可求，M的轨迹方程；利用向量的数量积的坐标表示及方程的根与系数的关系代入可求
解答：解：（1）由已知条件，点P与点F距离等于它到直线y=-1的距离，故其轨迹为以F（0，1）为焦点的抛物线．
∵
∴P=2故点P的轨迹方程为x²=4y（6分）
（2）设，
过抛物线上C、D两点的切线方程分别是，
∴两条切线的交点M的坐标为
设CD的直线方程为y=nx+1，代入x²=4y得x²-4nx-4=0
∴x₃x₄=-4故M的坐标为
故点M的轨迹为y=-1（10分）
∵
∴
==
而
=
故（14分）
点评：本题目主要考查了抛物线定义的灵活应用求解抛物线的方程，解题的关键是根据题意进行转化，还考查了利用导数的几何意义求解曲线的切线方程．