Question

20．已知函数f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函数，g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函数．
（I）求m+n的值；
（Ⅱ）设h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+1，x≤0}\\{g（x）+\frac{1}{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，试求h（x）在x∈[-2，1]时的最大值．

Answer 1

分析 （I）函数f（x）是奇函数，且在x=0处有意义，得f（0）=0，解得m，g（x）是偶函数利用g（-x）=g（x）解得n，从而得m+n的值．
（Ⅱ）分段求出最大值，即可得出结论．

解答 解：（I）∵函数f（x）=2^-x（4^x-m）是奇函数且定义域为R，
∴f（0）=1-m=0，解得m=1
∵g（x）=lg（10^x+1）+nx是偶函数．
∴g（-x）=lg（10^-x+1）-nx=lg$\frac{1{0}^{x}+1}{1{0}^{x}}$-nx=lg（10^x+1）-x-nx=lg（10^x+1）-（n+1）x
=g（x）=lg（10^x+1）+nx，
∴n=-（n+1），∴n=-$\frac{1}{2}$，
∴m+n=$\frac{1}{2}$
（Ⅱ）-2≤x≤0，h（x）=f（x）+1=2^-x（4^x-1）+1=2^x-2^-x+1，单调递增，最大值为1；
0＜x≤1，h（x）=g（x）+$\frac{1}{2}$x=lg（10^x+1），单调递增，最大值为lg11，
∴h（x）在x∈[-2，1]时的最大值为lg11．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，单调性的判断和运用，考查学生分析解决问题的能力．是中档题．