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17.已知定义在R上的函数f(x)满足①图象关于(1,0)点对称;②f(-1+x)=f(-1-x);③x∈[-1,1]时,f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{1{-x}^{2},x∈[-1,0]}\\{cos\frac{π}{2}x,x∈(0,1]}\end{array}\right.$,则函数y=f(x)-($\frac{1}{2}$)|x|在区间[-3,3]上的零点个数为5.

分析 由①可得f(x)+f(2-x)=0,求得x在[1,3]上的f(x)的解析式;再由②求得x在[-3,-1]上的解析式,画出f(x)和y═($\frac{1}{2}$)|x|在[-3,3]的图象,通过图象观察,可得它们有5个交点,即可得到零点的个数.

解答 解:由题意可得f(x)+f(2-x)=0,
当1≤x≤2时,0≤2-x≤1,f(2-x)=cos$\frac{π}{2}$(2-x)=-cos$\frac{π}{2}$x,
则f(x)=-f(2-x)=cos$\frac{π}{2}$x;
当2<x≤3时,-1≤x<0,f(2-x)=1-(2-x)2
则f(x)=-f(2-x)=(2-x)2-1.
由②f(-1+x)=f(-1-x),即为f(x)=f(-x-2),
当-3≤x≤-2时,0≤-2-x≤1,f(-2-x)=cos$\frac{π}{2}$(-2-x)=-cos$\frac{π}{2}$x,
则f(x)=-f(-2-x)=-cos$\frac{π}{2}$x;
当-2<x≤-1时,-1≤-2-x<0,f(-2-x)=1-(-2-x)2
则f(x)=f(-2-x)=1-(-2-x)2
y=f(x)-($\frac{1}{2}$)|x|在区间[-3,3]上的零点
即为y=f(x)和y=($\frac{1}{2}$)|x|在[-3,3]的交点个数.
作出y=f(x)和y═($\frac{1}{2}$)|x|在[-3,3]的图象,
通过图象观察,可得它们有5个交点,
即有5个零点.
故答案为:5.

点评 本题考查函数的性质和运用,考查函数方程的转化思想,注意运用数形结合的思想方法,属于中档题.

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