Question

已知非零向量

a

与

b

的夹角为θ且向量

a

+

3b

与

7a

-

5b

垂直；

a

-

4b

与

7a

-

2b

垂直，求θ的值.

Answer 1

分析：根据所给的两组向量垂直，得到两组向量的数量积为0，把两个式子进行比较得到等量关系，在求两个向量夹角的时候，把所得的等量关系代入公式，约分化简，得到余弦值，从而得到角．

解答：解：∵

a

+3

b

与7

a

-5

b

垂直，
∴(

a

+3

b

)•(7

a

-5

b

)=0，
∴7

a

2+16

a

•

b

-15

b

2=0，①
∵

a

-4

b

与7

a

-2

b

垂直，
∴7

a

2-30

a

• 

b

+8

b

2=0    ②
②-①得

b

2=2

a

•

b

③
把③代入②得，|

a

|=|

b

|，
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

1

2

，
∵θ∈[0，π]
∴θ=

π

3

点评：本题考查数量积的应用，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，本题是应用中的求夹角，解题过程中注意夹角本身的范围，避免出错．