Question

【题目】已知抛物线E：上一点M到焦点F的距离为5．

(1)求抛物线E的方程；

(2)直线与圆C：相切且与抛物线E相交于A，B两点，若△AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）．

【解析】

（1）由抛物线的定义求出p的值，即可得出抛物线的方程；

（2）设直线l的方程为x＝my+n，设点A（x1，y1）、B（x2，y2），根据直线l与圆C相切得出m与n所满足的第一个关系式，将直线l的方程联立，列出韦达定理，计算出|AB|以及原点O到直线l的距离d，然后利用三角形的面积公式计算出△AOB的面积，得出m与n所满足的第二个关系式，然后将两个关系式联立，求出m和n的值，即可得出直线l的方程．

（1）由抛物线的定义知，所以，p＝2，

因此，抛物线E的方程为y2＝4x；

（2）由题意知，直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为x＝my+n．

∵直线l与圆C相切，又圆C的圆心为（2，0），所以，，∴4m2＝n2﹣4n，

设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去x得，y2﹣4my﹣4n＝0，

由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n．

则

，

又原点O到直线l的距离为，

∴，

∴，∴（m2+n）n2＝4，

又4m2＝n2﹣4n，解得n＝±2．

当n＝2时，m2＝﹣1不成立；

当n＝﹣2时，m2＝3，∴．

经检验，所求直线方程为，即．