Question

11．设x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}y-x≤1\\ x+y≤3\\ y≥m\end{array}\right.$，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $-\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $-\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}y-x≤1\\ x+y≤3\\ y≥m\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-x=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$，解得A（1，2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=m}\\{y-x=1}\end{array}\right.$，解得B（m-1，m），
化z=x+3y，得$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$．
由图可知，当直线$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$过A时，z有最大值为7，
当直线$y=-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$过B时，z有最小值为4m-1，
由题意，7-（4m-1）=7，解得：m=$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．