Question

已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点（-2，0）是它的一个焦点，并且离心率为

2 3

3

．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知点M（0，1），设P（x₀，y₀）是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求

MP

•

MQ

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设双曲线方程为

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（a＞0，b＞0），依据题意，求出a、c、b的值，最后写出双曲线的标准方程和渐近线方程．
（Ⅱ）依题意有：Q（-x₀，-y₀），根据向量的坐标运算写出

MP

=(x0，y0-1)，

MQ

=(-x0，-y0-1)从而

MP

•

MQ

=-x₀²-y₀²+1再结合双曲线的范围得出x₀²≥3，从而求得

MP

•

MQ

的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线方程为

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（a＞0，b＞0），半焦距c，
依题意得　　

c a = 2 3 3 c=2

解得a=

3

，b=1，
∴所求双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1．
（Ⅱ）依题意有：Q（-x₀，-y₀），∴

MP

=(x0，y0-1)，

MQ

=(-x0，-y0-1)
∴

MP

•

MQ

=-x₀²-y₀²+1
，又

x 02

3

-y 02=1，

MP

•

MQ

=-

4

3

x

2 0

+2，由

x 02

3

-y 02=1可得，x₀²≥3，

MP

•

MQ

=-

4

3

x

2 0

+2≤-2故

MP

•

MQ

的取值范围x≤-2．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．