Question

11．为了提高产品的年产量，某企业拟在2014年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足$x=3-\frac{k}{m+1}$（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2014年该产品的利润y万元（利润=销售金额-生产成本-技术改革费用）表示为技术改革费用m万元的函数；
（2）该企业2014年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

Answer 1

分析 （1）由题意知当m=0时，x=1；从而可得x=3-$\frac{2}{m+1}$；从而化简y=（8+16x）（1.5-1）-m即可；
（2）化简y=28-$\frac{16}{m+1}$-m=29-（$\frac{16}{m+1}$+m+1），从而利用基本不等式求最大点即可．

解答 解：（1）由题意得，当m=0时，x=1；
即1=3-k，故k=2；
故x=3-$\frac{2}{m+1}$；
故y=（8+16x）（1.5-1）-m
=4+8（3-$\frac{2}{m+1}$）-m
=28-$\frac{16}{m+1}$-m（m≥0）；
（2）y=28-$\frac{16}{m+1}$-m
=29-（$\frac{16}{m+1}$+m+1）
≤29-2$\sqrt{\frac{16}{m+1}（m+1）}$=21；
（当且仅当$\frac{16}{m+1}$=m+1，即m=3时，等号成立）；
故该企业2014年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用及基本不等式在求最值的应用，属于中档题．