Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n且对任意正整数n总有S_n=p（a_n-1）（p为常数，且p≠0，p≠1），数列{b_n}满足
b_n=kn+q（q为常数）
（1）求数列{a_n}的首项a₁及通项公式（用p表示）；
（2）若恰好存在唯一实数p使得a₁=b₁，a₃=b₃，求实数k的取值的集合．

Answer 1

分析：（1）先把n=1直接代入求出数列{a_n}的首项a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）找到递推关系式整理即可求通项公式；
（2）先把已知条件代入整理为(

p

p-1

)3-

p

p-1

=2k，再借助于函数f（x）=x³-xx≠0且x≠1的图象来求实数k的取值的集合．

解答：
解：（1）由题a₁=s₁=p（a₁-1）?a1=

p

p-1

（p≠0，p≠1），
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=p（a_n-a_n-1）?（p-1）a_n=pa_n-1，
即

an

an-1

=

p

p-1

（常数）．
所以{a_n}是以

p

p-1

为首项，

p

p-1

为公比的等比数列，
所以an=

p

p-1

• (

p

p-1

) n-1= (

p

p-1

)n 

（2）

a1=b1 a3=b3

?

p p-1 =k+q ( p p-1 )3=3k+q

?(

p

p-1

)3=2k+

p

p-1

?(

p

p-1

)3-

p

p-1

=2k，
考虑函数f（x）=x³-xx≠0且x≠1
则f'（x）=3x²-1=3（x+

3

3

）（x-

3

3

）
所以f（x）=x³-xx≠0且x≠1，在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，1），（1，+∞）上为增函数；
在（-

3

3

，

3

3

）上为减函数；
恰好存在唯一实数p使得a₁=b₁，a₃=b₃，
只要方程x³-x=2k恰有一个实数解．
由图象可知，实数k的取值的集合为（-∞，-

2 3

9

）∪{0}∪（

2 3

9

，+∞）．

点评：本题是对数列的递推关系式以及数列与函数综合的考查．本题第二问的关键点在与转化为求函数f（x）=x³-xx≠0且x≠1的取值，借助于其图象来求对应实数k的取值．