Question

已知O为坐标原点，点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（Ⅰ）若

AC

•

BC

=

3

5

，求tanα的值；
（Ⅱ）若|

OA

+

OC

|=

7

，求

OB

与

OC

的夹角．

Answer 1

分析：（1）先由

AC

•

BC

=

3

5

，求出sinα+cosα=

1

5

，再根据再cos²α+sin²α=1以及α的范围，可得
cosα和sinα的值，从而求得tanα的值．
（2）由

OA

+

OC

=（2+cosα，sinα），|

OA

+

OC

|=

7

，求得cosα=

1

2

，从而求得α的值．

解答：解：（1）∵

AC

•

BC

=（cosα-2，sinα）•（cosα，sinα-2）=cos²α-2cosα+sin²α-2sinα
=1-2cosα-2sinα=

3

5

，
且 0＜α＜π，∴sinα+cosα=

1

5

．
再由 cos²α+sin²α=1 可得 cosα=-

3

5

，sinα=

4

5

，故tanα=-

4

3

．
（2）∵

OA

+

OC

=（2+cosα，sinα），|

OA

+

OC

|=

7

，
∴4+4cosα+cos²α+sin²α=7，解得cosα=

1

2

，
∴α=

π

3

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于中档题．