Question

设函数f(x)=clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ） 若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有1解，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），知f′(x)=

c

x

+x+b=

x2+bx+c

x

，由x=1为f（x）的极值点，知f′(x)=

(x-1)(x-c)

x

．由x=1为f（x）的极大值点，知c＞1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II）若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增f（x）=0恰有1解，则f（1）=0，实数c的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=clnx+

1

2

x2+bx（b，c∈R，c≠0），
∴f′(x)=

c

x

+x+b=

x2+bx+c

x

，
∵x=1为f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，
∴b+c+1=0，且c≠1，
f′(x)=

(x-1)(x-c)

x

．
∵x=1为f（x）的极大值点，
∴c＞1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜c时，f′（x）＜0；
当x＞c时，f′（x）＞0．
∴f（x）的递增区间为（0，1），（c，+∞）；递减区间为（1，c）．
（ II）若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，
在（1，+∞）上递增f（x）=0恰有1解，
则f（1）=0，
即

1

2

+b=0，所以c=-

1

2

；
若0＜c＜1，则f极大(x)=f(c)=clnc+

1

2

c2+bc，
f极小(x)=f(1)=

1

2

+b
因为b=-1-c，则f极大(x)=clnc+

c2

2

+c(-1-c)=clnc-c-

c2

2

＜0
f极小(x)=-

1

2

-c，
从而f（x）=0恰有一解；
若c＞1，则f极小(x)=clnc+

c2

2

+c(-1-c)=clnc-c-

c2

2

＜0
f极大(x)=-

1

2

-c，
从而f（x）=0恰有一解；
所以所求c的范围为{c|0＜c＜1或c＞1或c=-

1

2

}．．

点评：本题考查函数的单调区间、极值的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．