Question

15．张老师 上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．
路线①：沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为$\frac{1}{2}，\frac{2}{3}$，若A处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟．
路线②：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为$\frac{3}{4}\frac{2}{5}$，若a处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟．
（1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；
（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由．

Answer 1

分析 （1）走路线①20分钟到校，意味着张老师在A、B处均遇到绿灯，由此能求出张老师选择路线①，他20分钟能到校的概率．
（2）设选择khxg①延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5，分别求出相应的概率，从而求出Eξ=2；设选择路线②延误时间为随机变量η，则η的可能取值为0，8，5，13，分别求出相应的概率，从而求出Eη=5．由此求出为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②．

解答 解：（1）走路线①20分钟到校，意味着张老师在A、B处均遇到绿灯，
∴张老师选择路线①，他20分钟能到校的概率p=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
（2）设选择khxg①延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5，
则P（ξ=0）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
Eξ=$0×\frac{1}{3}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{1}{6}+5×\frac{1}{6}=2$．
设选择路线②延误时间为随机变量η，则η的可能取值为0，8，5，13，
P（η=0）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{5}=\frac{6}{20}$，
P（η=8）=$\frac{1}{4}×\frac{2}{5}=\frac{2}{20}$，
P（η=5）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
P（η=13）=$\frac{1}{4}×\frac{3}{5}=\frac{3}{20}$，
Eη=$0×\frac{6}{20}+8×\frac{2}{20}+5×\frac{9}{20}+13×\frac{3}{20}$=5．
∴选择路线①平均所花时间为20+2=22分钟；选择路线②平均所花时间为15+5=20分钟．
∴为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．