Question

【题目】如图，在四棱锥E﹣ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若AB=2 ，AE=3 ，平面EBD⊥平面ABCD，直线AE与平面ABD所成的角为45°，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO， ∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，
又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，
在△BDE中，∵O为BD的中点，∴BE=DE．
（Ⅱ）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，
EO⊥BD，
∴EO⊥平面ABCD，又∵CO⊥BD，AO⊥BD，
∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，
在正△ABCD中，AB=2 ，∴AO=3，BO=DO= ，
∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，
A（3，0，0），B（0， ，0），D（0，﹣ ，0），E（0，0，3），
=（﹣3， ，0）， =（﹣3，﹣ ，0）， =（﹣3，0，3），
设平面ABE的法向量 =（a，b，c），
则 ，取a=1，得 =（1， ，1），
设平面ADE的法向量 =（x，y，z），
则 ，取x=1，得 =（1，﹣ ，1），
设二面角B﹣AE﹣D为θ，
则cosθ= = = ．
∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）取BD中点O，连结CO，EO，推导出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能证明BE=DE．（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用棱锥的结构特征，掌握侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方即可以解答此题．