Question

（理科）在平面直角坐标系中，F为抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M为抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
（3）若点M的横坐标为2，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A、B，l与圆Q有两个不同的交点D、E，用含k的式子表示 AB²+DE²．

Answer 1

解：（1）∵⊙Q过M、F、O三点，
∴Q一定在线段FO的中垂线上，
∵抛物线x²=2py的焦点F（0，），O（0，0）
∴FO的中垂线为：y=，
设Q（x_Q，y_Q），得yQ=，
结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为-（-）=，解之得p=1
由此可得，抛物线C的方程为x²=2y；
（2）设存在点M（x₀，），抛物线化成二次函数：y=x²，
对函数求导数，得y′=x，得切线MQ：y-=x₀（x-x₀），
由（1）知，y_Q=，所以对MQ方程令y=，得x_Q=
∴Q（，），
结合|MQ|=|OQ|得
∴
∵M为抛物线C上位于第一象限内的任意一点，
∴存在M（，1），使得直线MQ与抛物线C相切于点M；
（3）当x₀=2时，由（2）的Q（，），⊙Q的半径为：r=所以⊙Q的方程为（x-）2+（y-）2=．
由，整理得2x²-4kx-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
直线方程代入圆的方程，整理得（1+k²）x²-x-=0，
设D，E两点的坐标分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△＞0，x₃+x₄=，x₃x₄=-．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=+，
因此|AB|²+|DE|²=（1+k²）（4k²+2）++．
分析：（1）⊙Q过M、F、O三点，结合圆的性质得Q点一定在线段FO的中垂线上，再根据Q到抛物线C的准线的距离，建立方程求得p，从而得到抛物线C的方程；
（2）将抛物线化成二次函数，利用导数的几何意义，得到切线方程，从而确定Q的坐标，利用|QM|=|OQ|，即可求出M的坐标；
（3）求出⊙Q的方程，利用直线与抛物线方程联立方程组，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，求出|AB|²．同理求出|DE|²，即可得到|AB|²+|DE|²的表达式．
点评：本题给出抛物线上两个点与它的焦点在同一个圆上，在已知圆心到准线距离的情况下求抛物线方程并探索抛物线的切线问题，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与抛物线关系等知识，属于中档题．