Question

已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率为．过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题知a²=m，b²=1，∴c²=m-1
∴，解得m=4．
∴椭圆的方程为．（4分）
（2）当l的斜率不存在时，，不符合条件．（5分）
设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），联立l和椭圆的方程：
，．消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，
∴△=（6k）²-4×（4+k²）×5=16k²-80＞0，解得k²＞5．且，，
∴==
由已知有＜整理得13k⁴-88k²-128＜0，解得，
∴5＜k²＜8．（9分）
∵，即（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=λ（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂=λy₀
当λ=0时，，，显然，上述方程无解．
当λ≠0时，，．
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，
∴，
化简得．由5＜k²＜8，可得3＜λ²＜4，
∴λ∈（-2，-）∪（，2）．即λ的取值范围为（-2，-）∪（，2）．（12分）
分析：（1）由题知a²=m，b²=1，∴c²=m-1，且离心率为，得m=4．由此能求出椭圆的方程．
（2）当l的斜率不存在时，，不符合条件．设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），联立l和椭圆的方程：，消去y，整理得（4+k²）x²+6kx+5=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．
点评：本题考查圆锥曲线和直线 的位置关系和应用，解题时要注意公式的灵活运用．