Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），设函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=

3

，f（A）=4，求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积公式和三角恒等变换公式，化简得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3，再由三角函数的周期公式和单调区间公式加以计算，可得答案；
（2）根据f（A）=4解出sin(2A+

π

6

)=

1

2

，结合A为三角形的内角算出A=

π

3

．由余弦定理的算出b²+c²-bc=3，再根据基本不等式加以计算，即可得到b+c的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），
∴f（x）=

m

•

n

=（

3

sin2x+2）+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+3=2sin（2x+

π

6

）+3，
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
∴函数f（x）v的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（I）得f（A）=4即2sin(2A+

π

6

)+3=4，
解得2sin(2A+

π

6

)+3=4，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

．
∵A∈（0，π），得2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=3，即b²+c²-bc=3，
∴（b+c）²=3+3bc，
∵bc≤[

1

2

（b+c）]²，
∴（b+c）²=3+3bc≤3+

3

4

（b+c）²，解之得（b+c）²≤12．（当且仅当b=c时等号成立）
由此可得：当b=c=

3

时，b+c的最大值等于2

3

．

点评：本题着重考查了向量的数量积公式、二倍角的三角函数公式和辅助角公式、利用余弦定理解三角形和基本不等式等知识，属于中档题．