Question

15．已知y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-4x+8，且当x∈[-5，-1]时，n≤f（x）≤m恒成立，求m-n的最小值．

Answer 1

分析 由函数为奇函数，可得x＜0的解析式，f（x）=-x²-4x-8，求出f（x）在[-5，-1]的最值，由恒成立思想可得m，n的范围，再由不等式的性质，即可得到所求的最小值．

解答 解：y=f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），
令x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=x²-4x+8，
可得f（-x）=x²+4x+8=-f（x），
即有f（x）=-x²-4x-8，x＜0，
当x∈[-5，-1]时，f（x）=-（x+2）²-4，
当x=-2时，f（x）取得最大值-4，
当x=-5时，f（x）取得最小值-13．
由当x∈[-5，-1]时，n≤f（x）≤m恒成立，
可得n≤-13，m≥-4，
则m-n≥-4+13=9．可得m-n的最小值为9．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用二次函数的最值的求法，讨论对称轴和区间的关系，同时考查函数的奇偶性的运用：求解析式，属于中档题．