Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-

(k+1)

2

x2，g(x)=

1

3

-kx且f（x）在区间（2，+∞）上为增函数．
（1）求k的取值范围；
（2）若函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数，因为f（x）在（2，+∞）上为增函数，所以得到导函数在（2，+∞）上恒大于等于0，列出k与x的不等式，由x的范围即可求出k的取值范围；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中确定出h（x）的解析式，求出h（x）的导函数，令导函数等于0求出此时x的值，然后根据（1）求出的k的范围，分区间讨论导函数的正负进而得到函数的单调区间，根据函数的增减性求出函数的极小值和极大值，判断得到极小值大于0，所以要使函数f（x）与g（x）的图象有三个不同的交点，即要极大值也要大于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到实数k的取值范围．

解答：解：（1）由题意f′（x）=x²-（k+1）x，
因为f（x）在区间（2，+∞）上为增函数，
所以f′（x）=x²-（k+1）x≥0在（2，+∞）上恒成立，即k+1≤x恒成立，
又x＞2，所以k+1≤2，故k≤1，
当k=1时，f′（x）=x²-2x=（x-1）²-1在x∈（2，+∞）恒大于0，故f（x）在（2，+∞）上单增，符合题意．
所以k的取值范围为k≤1．
（2）设h(x)=f(x)-g(x)=

x3

3

-

(k+1)

2

x2+kx-

1

3

，
h′（x）=x²-（k+1）x+k=（x-k）（x-1），
令h′（x）=0得x=k或x=1，由（1）知k≤1，
①当k=1时，h′（x）=（x-1）²≥0，h（x）在R上递增，显然不合题意；
②当k＜1时，h（x），h′（x）随x的变化情况如下表：
由于

k-1

2

＞0，欲使f（x）与g（x）图象有三个不同的交点，
即方程f（x）=g（x），也即h（x）=0有三个不同的实根．
故需-

k3

6

+

k2

2

-

1

3

＞0即（k-1）（k²-2k-2）＜0，
所以

k＜1 k2-2k-2＞0

，解得k＜1-

3

．
综上，所求k的范围为k＜1-

3

．

点评：此题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．