Question

5．曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1）的点的轨迹，给出下列四个结论：
①曲线C关于坐标轴对称；
②曲线C过点$（0，\sqrt{a-1}）$；
③若点P在曲线C上（不在x轴上），则△PF₁F₂的面积不大于$\frac{1}{2}a$．
其中，所有正确结论的序号是①②③．

Answer 1

分析 设动点坐标为（x，y），由动点与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数a（a＞1）可得动点的轨迹方程，然后由方程特点判断①；把点的坐标代入方程判断②；设出曲线上动点，结合①得到动点纵坐标，代入三角形面积公式利用配方法求出最大值判断③．

解答 解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a²，
取x=-x，或y=-y，所得方程不变，曲线C关于坐标轴对称，①正确；
对于②，把点$（0，\sqrt{a-1}）$代入[（x+1）²+y²]•[（x-1）²+y²]=a²，即（1+a-1）（1+a-1）=a²成立，∴曲线C过点$（0，\sqrt{a-1}）$，②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×2×y=y，由①知y²=-x²-1+$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$或y²=-x²-1-$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}$（舍去），
令$\sqrt{4{x}^{2}+{a}^{2}}=t$，则x²=$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}}{4}$，∴y²=-$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}}{4}$-1+t=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴$（{S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}）^{2}≤\frac{1}{2}a$，故③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题考查动点的轨迹方程的求法，训练了曲线的对称性的判断方法，利用解析式选择换元法求函数值域是解答③的关键，是中档题．