Question

已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体EFGH的表面积为T，则

T

S

等于（　　）

• A、

  1

  9

• B、

  4

  9

• C、

  1

  4

• D、

  1

  3

Answer 1

分析：因为正四面体四个面都是正△，其中心到顶点的距离等于到对边距离的一半，通过作出辅助线，可得两四面体的边长比，由面积比是边长比的平方，可得出答案．

解答：解：如图所示，正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，
∴四面体EFGH也是正四面体．
连接AE并延长与CD交于点M，
连接AG并延长与BC交于点N．
∵E、G分别为面的中心，
∴

AE

AM

=

AG

AN

=

2

3

．∴

GE

MN

=

2

3

．
又∵MN=

1

2

BD，∴

GE

BD

=

1

3

．
∵面积比是相似比的平方，∴两四面体的面积比为；

T

S

=

1

9

．
故答案为：A

点评：本题考查了多面体的面积比是边长比的平方，本题关键是求边长比是多少；类似的有体积比是边长比的立方，三角形的高，中线，角平分线的比等于边长的比．